לדלג לתוכן

לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג ותת קבוצה של איברי החוג, , רוצים לבנות חוג חדש והעתקת חוגים מ- ל- כך שכל אחד מאיברי יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-. יתר על כן, דורשים כי יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי , או אם , כאשר הוא אידיאל ראשוני, על ידי .

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם אז , וכמו כן נניח כי . על הקבוצה נחשוב כעל קבוצת שברים . נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי אם קיים כך ש . אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- , בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה ואיבר היחידה יהיה . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - , עם ).

על קבוצת המנה נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של .

ההעתקה הנתונה על ידי היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג אחר עם מונומורפיזם וכך שתמונות איברי הפיכים ב , אז בהכרח קיים מונומורפיזם . כך ש- , כאשר הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את על פי הכלל: . קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - .

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים . יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים , ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם אידיאל, גם אידיאל. בכיוון ההפוך, אם אידיאל, אז עבור . כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם אידיאל ו-, אז (כי יש בו איבר הפיך).

אם חוג נותרי או ארטיני, כך גם .

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים אם ורק אם . אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את , נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית .

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו עם אידיאל ראשוני , מתקבל החוג . האידיאל המקסימלי הוא .

  • יהי תחום שלמות, ותהי . במקרה זה הוא שדה השברים של R.
  • אם תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של (חוג הפולינומים) מכיל עותק של , ושווה לשדה השברים של .
  • אם ו- כאשר ראשוני, נקבל כי , והאידיאל המקסימלי שלו הוא .
  • אם חוג שלם מעל (כלומר, כל איבר של הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-) אז שלם מעל לכל כנ"ל.

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]